kingscasino.info
Главная

12. Определение устойчивости

12. Определение устойчивости

Глава 1. Задача Коши

Назад§ 1.2 Разностные схемы. Сходимость, аппроксимация, устойчивость Вперед


После такой подготовки приступит он к судебным делам и прежде всего установит, какого рода эти дела.

Цицерон. Оратор

В данном параграфе на примере явного метода Эйлера даются основные понятия теории разностных схем — понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости. Доказывается теорема Лакса. Описываются основные приемы построения разностных схем.

1.2.1. Метод ломаных Эйлера.

Напомним, что метод ломаных Эйлера – это метод нахождения аппроксимирующей интегральную кривую ломаной, который в образах парка со стрелками-указателями может быть представлен так (рис. 2). Из точки (t0, x0) = (t0, x0) расширенного фазового пространства движемся τ "секунд", сообразуясь со стрелкой, помещенной в этой точке, и не обращая внимания на остальные стрелки. Придя (через время τ) в точку (t1, x1), меняем направление, пользуясь указанием, задаваемым стрелкой в точке (t1, x1); через τ секунд приходим в точку (t2, x2), опять меняем направление и  т. д. Полученная траектория и является ломаной Эйлера, аппроксимирующей решение задачи (E) – (C).

Метод ломаных Эйлера
Рис. 2.

Легко видеть, что координаты i-й вершины (i = 1,..., n) ломаной Эйлера определяются формулами

ti = t0 + iτ,   x0 = x0,    xi = xi–1 + τf(ti–1, xi–1). (1)

Перепишем эти равенства в следующем виде:

xixi–1 τ  – f(ti–1, xi–1) = 0,  если i = 1,..., n, xi = x0, если i = 0.

1.2.2. Операторная запись задачи (E) – (C).

Запишем метод ломаных Эйлера в общем виде, в котором могут быть записаны другие разностные методы и который позволяет укладывать исследование таких методов в общую схему. Для этого сначала запишем задачу (E) – (C) в операторной форме. Начальное условие (C) можно записать в виде

g(x) = 0,

где функция g имеет вид g(x) = x(t0) – x0. Тогда начальную задачу (E) – (C) можно записать в операторной форме

F(x) = 0, (O)

где F(x) = (x′(·) – f(·, x), g(x)). Не будем обсуждать подробно вопрос об областях определения и значений оператора F. В случае задачи (E) – (C) можно считать, например, что областью определения D(F) оператора F служит пространство C1([t0, t0 + T], Rm) непрерывно дифференцируемых на отрезке [t0, t0 + T] функций со значениями в Rm, а областью значений R(F) — декартово произведение C1([t0, t0 + T], RmRm. Заметим, что решение φ задачи (E) – (C) есть прообраз нуля для оператора F: φ = F–1(0).

1.2.3. Операторная форма метода ломаных Эйлера.

Пусть x — сеточная функция из Sτ. Определим на Sτ оператор Fτ равенством

[Fτ(x)]i = { xixi–1 τ   –  f(ti–1, xi–1),  если i = 1, ..., n, xix0,  если i = 0; (2)

(Здесь [Fτ(x)]i обозначает значение сеточной функции [Fτ(x)] в точке ti.)

Задача о нахождении ломаной Эйлера, очевидно, эквивалентна задаче о нахождении решения φτ уравнения

Fτ(x) = 0 (S)

в пространстве Sτ сеточных функций в следующем смысле: значения (φτ)i решения уравнения (S) в узлах сетки и только они являются ординатами вершин ломаной Эйлера в точках ti (см. формулу (1)). Таким образом, вместо точного решения φ = F–1(0) мы ищем приближенное решение φτ = Fτ–1(0).

1.2.4. Разностные схемы.

Любое уравнение вида (S) для нахождения сеточной функции x будем называть разностной схемой, а его (уравнения) решение, которое мы всегда будем обозначать φτ, — разностным или сеточным решением (уравнения (S)). Оператор Fτ будем называть разностным оператором. Разумеется, в таком общем виде определение разностной схемы никак не связано с исходной задачей Коши (E) – (C) (уравнением (O)). В то же время, если в (S) оператор Fτ определен формулой (2), то разностная схема (S) имеет к задаче (E) – (C) самое непосредственное отношение (объяснить, что означают эти слова, и есть цель остальной части параграфа).

В последнем случае разностная схема (S) называется явной (разностной) схемой Эйлера. Явной она называется потому, что ее решение может быть выписано в явном виде с помощью рекуррентных соотношений:

(φτ)0 = x0, (φτ)i = (φτ)i–1 +τf[ti–1,(φτ)i–1],   i = 1, ..., n.

Единственное отличие метода ломаных Эйлера от явной схемы Эйлера заключается в том, что в первом ищется функция, заданная на отрезке [t0, t0 + T] (ломаная Эйлера), а во втором — на сетке Gτ (вершины этой ломаной).

Задача 1.2.1. Докажите, что разностное решение φτявной схемы Эйлера для задачи Коши

x′ = ax,   x(t0) = x0

(aR) на равномерной сетке (τi = iτ) задается формулой (φτ)i = x0(1 + τa)i.

1.2.5. Пример. Сходимость явной разностной схемы Эйлера.

В условиях задачи 1.2.1 разностное решение φτ аппроксимирует решение φ(t) = x0eat интересующей нас исходной (дифференциальной) задачи в следующем смысле: при всех t ∈ [0, T]

(φτ)ix0eat при τ→ 0, (3)

где i = [t/τ] (здесь [t/τ] — целая часть числа t/τ; ниже мы наряду с обозначением [a] для целой части числа a используем обозначение {a} для его дробной части: a = [a]+ {a}). Действительно,


lim
τ→0 (φτ)i
lim
τ→0
x0(1 + τa)ix
lim
τ→0
(1 + τa)[t/τ] =
x
lim
τ→0
(1 + τa)t/τ–{t/τ} =
x
lim
τ→0
(1 + τa)t/τ·
lim
τ→0
(1 + τa)–{t/τ}.

Сомножитель limτ→0(1 + τa)–{t/τ} равен единице, поскольку {t/τ} ∈ (0, 1). Второй сомножитель также вычисляется тривиально:


lim
τ→0
(1 + τa)t/τ = 
lim
τ→0
(1 + τa)[1/(τa)] ·at =  [
lim
τ→0
(1 + τa)1/τa ] at
 = eat

и соотношение (3) доказано.

Задача 1.2.2. Докажите более сильное, чем (3) утверждение

||φτ – Pτφ||τ→ 0 при τ→ 0.

означающее, что предельное соотношение (3) выполнено равномерно по i ∈ {1, ..., n).

1.2.6. Сходимость разностных схем.

Будем говорить, что разностная схема (S) сходится (к решению φ задачи (E) – (C)), если

||φτ – Pτφ||τ→ 0 при τ→ 0. (4)

Сходимость разностной схемы означает, что при достаточно малом τ значения сеточного (приближенного) решения φτ и точного решения φ мало отличаются. Соотношение (4) на практике оказывается мало полезным, поскольку на основании его нельзя судить о том насколько малым мы должны выбрать шаг τ, чтобы в узлах сетки точное и приближенное решения отличались друг от друга не более, чем на ε (заранее заданную точность). Если удается доказать, что при достаточно малых τ > 0

||φτ – Pτφ||τ ≤ Cτk, (5)

где C — не зависящая от τ константа, то говорят, что схема (S) сходится с порядком k (или является схемой k-го порядка (сходимости)). Оценка (5), если в ней известна (для конкретной задачи (E) – (C)) константа C, позволяет по заранее выбранной точности ε a priori выбрать шаг так, чтобы приближенное решение аппроксимировало решение данной (дифференциальной) задачи Коши с точностью ε:

||φτ – Pτφ|| τ ≤ ε;

достаточно взять τ ≤ k√ε/C.

1.2.7 Аппроксимация.

Явная схема Эйлера обладает двумя важными свойствами, из которых, как будет показано ниже, последует ее сходимость с первым порядком. Во-первых, при достаточно малых τ

где Ca — константа, не зависящая от τ, а φ — как обычно, точное решение задачи (E) – (C). В этом случае говорят, что схема (S) имеет первый порядок аппроксимации на решении. (Если в правой части неравенства (6) стоит Caτk, то, соответственно, говорят о схеме k-го порядка аппроксимации (на решении).) Другими словами, неравенство (6) эквивалентно тому, что ||Fτ(Pτφ)||τ = O(τ) (в случае схемы k-го порядка аппроксимации — Ok)). Тот факт, что разностная схема обладает аппроксимацией на решении, означает, грубо говоря, что при подстановке точного решения дифференциальной задачи в разностную схему мы получаем невязку соответствующего порядка малости по τ. (Было бы идеально, если бы после такой подстановки мы получали в левой части нуль, однако в общем случае конструктивно такие схемы выписать нельзя.)

Часто вместо свойства аппроксимации на решении рассматривают формально более жесткое требование, которое называют свойством аппроксимации (в зарубежной литературе — согласованностью); именно, говорят, что схема (S) является схемой k-го порядка аппроксимации на функции x, если при достаточно малых τ

Обычно требуется, чтобы схема обладала свойством аппроксимации на множестве функций из некоторого класса гладкости. Очевидно, если решения дифференциального уравнения (E) m раз непрерывно дифференцируемы, а разностная схема обладает k-м порядком аппроксимации (согласованности) на m раз непрерывно дифференцируемых функциях, то она обладает k-м порядком аппроксимации на решении.

1.2.8. Аппроксимация явной схемы Эйлера.

Покажем, что если функция f в (E) непрерывно дифференцируема по t и x, то явная схема Эйлера имеет первый порядок аппроксимации на решении. Действительно, пусть φ — решение задачи (E) – (C):

φ′(t) ≡ f[t, φ(t)],   t ∈ [t0, t0 + T].

Поскольку f дифференцируема по t и x, решение φ дважды непрерывно дифференцируемо (см. утверждение о гладкости решений). В частности, найдется M такое, что ||φ′′(t)|| ≤ M при всех t ∈ [t0, t0 + T]. Кроме того, в силу гладкости φ для любых t = 1, ..., n

 φ(ti) = φ(ti–1 + τ) = φ(ti–1) +τφ′(ti–1) +  τ2 2 φ′′(ti–1 + Φiτ), 

где Φ ∈ (0, 1). Но тогда

 [Fτ(Pτφ)]i =  (Pτφ)i – (Pτφ)i–1 τ – f[ti–1, (Pτφ)i–1] =  =  φ(ti) – φ(ti–1) φ – f[ti–1, φ(ti–1)] =

φ(ti–1) + τφ′(ti–1) +  τ2 2 φ′′(ti–1 + Φiτ) – φ(ti–1) τ

 –

f[ti–1, φ(ti–1)] = φ′(ti–1) +  τ2 2 φ′′(ti–1 + Φiτ) – f[ti–1, φ(ti–1)] = =  τ 2 φ′′(ti–1 + Φiτ). 

(Если i = 0, то очевидно, [Fτ(Pτφ)]i = 0.) Из сказанного следует, что

 ||Fτ(Pτφ)|| τ = 
max
0≤in ||[Fτ(Pτφ)]i|| ≤  ≤  τ 2
max
0≤in ||φ′′(ti–1+Φiτ)|| ≤ τ M 2 ≝ Caτ.

Задача 1.2.3. Покажите, что явная схема Эйлера обладает первым порядком аппроксимации (согласованности) на любой дважды непрерывно дифференцируемой функциию

1.2.9. Устойчивость.

Второе важное свойство, которым обладает явная схема Эйлера, называется устойчивостью и определяется так: если z ∈ Sτ и, кроме того, ||z||τ и τ достаточно малы, то уравнение

Fτ(y) = z (7)

однозначно разрешимо и существует такая не зависящая от τ и ||z||τ константа Cs, что

||y – φτ||τ = ||Fτ–1(z)– φτ||τ ≤ Cs||z||τ. (8)

Устойчивость разностной схемы означает, что малые возмущения z в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому по τ изменению решения (напомним, что φτ — решение невозмущенной системы, а Fτ–1(z) — возмущенной). Поскольку φτ = Fτ–1(z),неравенство (8), переписанное в виде ||Fτ–1(z)– Fτ–1(0)||τ ≤ Cs||z|| τ, означает, в частности, непрерывность обратного к разностному оператору оператора Fτ–1в нуле.

Устойчивость — очень важное в приложениях свойство разностных схем. При практической реализации на ЭВМ разностных методов возникают, в частности, проблемы, связанные с невозможностью представления точных чисел в компьютере. В результате мы решаем не разностную схему (S), а несколько отличающееся от (S) уравнение. Все такие возмущения в разностной схеме, грубо говоря, можно "перенести в правую часть" и, таким образом, считать, что в ЭВМ ищется решение не разностной схемы (S), но решение возмущенного уравнения (7). Свойство устойчивости разностной схемы гарантирует близость при достаточно малых τ между точным (теоретическим) решением φτ разностной схемы и его практической реализацией Fτ–1(z)(где z — суммарный вектор возмущений). Источником возмущений служит не только невозможность точного представления данных в ЭВМ, но и неточность определения физических параметров модели, погрешность измерений и т.п.

1.2.10. Пример. Устойчивость явной схемы Эйлера.

Докажем, что явная схема Эйлера устойчива.

Разрешимость уравнения (7) для любых τ и z очевидным образом следует из того, что явная схема Эйлера является явной: значения yi решения y = Fτ–1(z) этого уравнения определяются рекуррентными формулами

y0 = x0 + z0, yi = yi–1 + τf(ti–1, yi–1) + τzi,   i = 1, ..., n.

Обозначим y – φτ через ξ. Очевидно,

ξ0 = z0, ξi = ξi–1 + τf(ti–1, yi–1) – τf[ti–1,(φτ)i–1] + τzi,   i = 1, ..., n.

Покажем теперь, что


||ξi|| ≤ (1 + τL)i· L + 1 L ||z||τ.

Для этого заметим сначала, что

||ξi|| = ||ξi–1 + τf(ti–1, yi–1) – τf[ti–1,(φτ)i–1] + τzi|| ≤ ≤ ||ξi–1|| + τ||f(ti–1, yi–1) –f[ti–1,(φτ)i–1]|| + τ||zi|| ≤ ≤ ||ξi–1|| + τL||yi–1 – (φτ)i–1|| + τ||z|| τ = (1 + τL)||ξi–1|| + τ||z|| τ.

Проведя такие оценки i раз, получим

||ξi|| ≤ (1 + τL)||ξi–1|| + τ||z|| τ ≤ ≤ (1 + τL)[(1 + τL)||ξi–2|| +τ||z|| τ] + τ||z|| τ = = (1 + τL)2||ξi–2|| + [(1 + τL) + 1]τ||z|| τ ≤ ... ... ≤ (1 +τL)i|| ξ0|| + [(1 + τL)i–1 + ... + (1 + τL) + 1]τ||z|| τ =
= (1 + τL)i|| ξ0|| +  (1 + τL)i – 1 (1 + τL) – 1
τ||z||τ ≤ 
≤ (1 + τL)i|| z|| τ +  (1 + τL)i– 1 L ||z|| τ = =  (1 + τL)iL + (1+ τL)i – 1 L
||z||τ ≤ (1+τL)i· L + 1 L
||z||τ.

Воспользуемся теперь известным неравенством (1 + α)1/α < e (напомним также, что τ = T/n):

(1 + τL)i ≤ (1 + τL)n = (1 + τL)[(TL)/(τL)] ≤ [(1 + τL)[ 1/(τL)]]TL < eTL.

Окончательно,


||Fτ–1z– φτ|| τ = ||y – φτ|| τ = ||ξ|| τ = 
max
0≤in ||ξi|| ≤ ≤ 
max
0≤in
eTL·  L + 1 L
||z|| τ = eTL· L + 1 L
||z||τ ≝ Cs|| z|| τ.

Итак, явная схема Эйлера устойчива.

Покажем теперь, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость разностной схемы.

1.2.11. Теорема Лакса.

Любая устойчивая разностная схема k-го порядка аппроксимации на решении является схемой k-го порядка сходимости.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Действительно, если разностная схема имеет k-й порядок аппроксимации на решении, то ||Fτ(Pτφ)||τ ≤ Caτk и поэтому, в частности, при малых τ мала и ||Fτ(Pτφ)||τ. Следовательно, в силу устойчивости, Fτ–1[Fτ(Pτφ)] существует и ||Fτ–1[Fτ(Pτφ)]– φτ||τ ≤ Cs||Fτ(Pτφ)||τ. Но тогда, очевидно,

||Pτφ– φτ|| τ = ||Fτ–1[Fτ(Pτφ)]– φτ||τ ≤ ≤ Cs|| Fτ(Pτφ)|| τ ≤ CsCaτ ≝ Cτk.

что и требовалось доказать.

Эта теорема описывает наиболее распространенный способ доказательства сходимости разностных схем.

Задача 1.2.4. Приведите пример не сходящейся разностной схемы, обладающей своством аппроксимации.

1.2.12. Немного о методах построения разностных схем.

Явная схема Эйлера может быть построена, исходя из различных соображений. Каждый из описываемых ниже приемов порождает ряд обобщений явной схемы Эйлера и может иллюстрировать основные методы построения разностных схем. В дальнейшем эти методы будут рассматриваться подробнее.

Попытаемся, отталкиваясь от уравнения (E), заменить его приближенным в том или ином смысле уравнением так, чтобы в результате получилась разностная схема. Первая идея выглядит так. Заменим в уравнении

x′(t) = f[t, x(t)] (9)

производную x′(t) в точке ti–1 ее приближенным значением [x(ti) – x(ti–1]/τ, а правую часть — ее значением в этой точке. В результате получим приближенное уравнение

x(ti) – x(ti–1) τ ≈ f[ti–1, x(ti–1)] 

для отыскания значений точного решения уравнения (E) в точках сетки Gτ. Переход к сеточным функциям и замена приближенного равенства точным приводит к точному уравнению для приближенных значений решения, а именно, к явной схеме Эйлера. Использование других аппроксимаций производной в (9) (например, x′(ti–1) ≈ [x(ti+1) – x(ti–1)]/2τ, а также других аппроксимаций правой части (например, f[tix(ti)]) взамен f[ti–1, x(ti–1)] позволяет получать другие разностные схемы.

Вторая идея основывается на замене дифференциального уравнения (9) интегральным

x(t + τ) = x(t) +  ∫ t

t

f[s, x(s)]ds, (10)

Если заменить в (10) t на ti–1, а интеграл — приближенной квадратурной формулой (в данном случае прямоугольников), то мы получим приближенное уравнение

x(ti) ≈ x(ti–1) + τf[ti–1, x(ti–1)],

которое так же, как и выше приводит к явной схеме Эйлера. Если использовать другие квадратурные формулы (заменяя, например, интеграл на τf[tix(ti)] или τ[f(ti–1, x(ti–1)) + f(tix(ti))]/2), то будут получаться другие разностные схемы.

Третья возможность построения разностных схем связана с разложением решения в ряд Тейлора:

x(ti) = x(ti–1) + τx′(ti–1) +  τ2 2 x′′(ti–1) + ... .

"Обрежем" этот ряд до второго члена и выразим производную x′(ti–1) из (9). В результате получим все то же приближенное уравнение

x(ti) ≈ x(ti–1) + τf[ti–1, x(ti–1)],

приводящее к явной схеме Эйлера. Удлинение отрезка ряда и другие аппроксимации коэффициентов приводят к другим разностным схемам.

Наконец, четвертая возможность связана с поиском решения в виде полинома. Допустим, мы ищем решение в виде полинома первого порядка:

ψ(t) = xi–1 + a·(tti–1)

с неизвестным коэффициентом a. Потребуем, чтобы этот полином точно удовлетворял уравнению (9) в некоторой точке ti–1 + α:

ψ′(ti–1 + α) = a = f(ti–1 +α, xi–1 + aα).

Переходя к сеточным функциям, как и выше, получаем разностную схему:

xi = ψ(ti) = ψ(ti–1 + τ) = xi–1 + τf(ti–1 + α, xi–1 + aα).

При α = 0 это явная схема Эйлера. Если выбирать отличные от нуля α, а также брать полиномы более высоких порядков, то получается класс различных разностных схем.

File based on translation from TEX by TTH, version 3.05.
Created 23 May 2002, 20:10.

Исследование на устойчивость разностной схемы 594
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
12. Определение устойчивости
Теги:

Заказ цветов и подарков в минске  Как сделать подсветка для полочек  Красивые поздравления с днём матери жене  Бумага в клетку для черчения как называется  Как сделать сферу из гипсокартона  Как сделать полку из столешницы своими руками  Дизайн прихожей с низким потолком  Как сделать телефон из дерева фото  Нагнетатель сделать своими руками  Водяная колонка своими руками нева  Санаторий горный схема корпусов  Прямоток своими руками из стандартного  Чаша в ванную своими руками  Как сшить игрушки на новый год выкройки  Подшив крыши своими руками фото  Чёрный педикюр на больших ногтях  Как сделать косичку зигзаг  Красивые девушки с красивыми причёсками  Законодательством рф признаются ценные бумаги  

 Рейтинг@Mail.ru
Закрыть ... [X]
Карта сайта